桁架計算例題及答案（桁架結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析）

桁架結(jié)構(gòu)是一種常見的工程結(jié)構(gòu)，其穩(wěn)定性分析至關(guān)重要。本例題通過一個具體的桁架結(jié)構(gòu)計算，展示了如何應用彈性力學原理來評估結(jié)構(gòu)的強度和穩(wěn)定性。題目要求計算一個由若干個三角形梁組成的桁架結(jié)構(gòu)，并確定其最大承載力。，，答案中指出，首先需要確定桁架的幾何尺寸和材料屬性，然后根據(jù)彈性力學中的應力和應變關(guān)系，計算出各個節(jié)點處的應力分布。利用桁架理論中的公式，如歐拉-伯努利公式或卡門-馮·克諾普夫公式，來計算桁架的最大承載力。根據(jù)計算結(jié)果，判斷桁架是否能夠承受預期載荷而不發(fā)生破壞。

桁架計算例題及答案示例

一、例題1

題目描述
- 計算圖示結(jié)構(gòu)。截面 $b×h = 0.2m×0.2m$ ， $E = 2.0×10^{8}kN/m^{2}$ ， $\mu = 0.3$ 。分別將結(jié)點視為鉸結(jié)點和剛結(jié)點進行計算。
計算步驟（以鉸結(jié)點為例）
- 首先，將桁架結(jié)構(gòu)按照理想桁架假設(shè)進行分析，即認為是直桿鉸接體系，荷載只在結(jié)點作用，所有桿均為只有軸力的二力桿。
- 對于鉸結(jié)點，可根據(jù)結(jié)點的平衡條件列出平衡方程。假設(shè)桁架有 $n$ 個結(jié)點，每個結(jié)點在平面內(nèi)可列出兩個獨立的平衡方程（水平方向力的平衡和垂直方向力的平衡）。
- 根據(jù)結(jié)構(gòu)的幾何形狀、荷載情況以及約束條件，確定已知力和未知力（桿件內(nèi)力）。
- 求解這些平衡方程，得到桿件的內(nèi)力。
- 如果將結(jié)點視為剛結(jié)點，除了考慮力的平衡，還需要考慮力矩的平衡，計算會更加復雜。
答案（假設(shè)情況）
- 由于沒有給出圖示結(jié)構(gòu)的具體形狀、荷載情況和約束條件，無法給出具體的數(shù)值答案。但按照上述步驟，在確定具體條件后就可以計算出桿件內(nèi)力。

二、例題2

題目描述
- 計算圖示結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與位移。同樣分別將結(jié)點視為鉸結(jié)點和剛結(jié)點進行計算。
計算步驟（鉸結(jié)點情況）
- 確定結(jié)構(gòu)的基本信息，如桿件的布置、荷載作用點和大小、支座約束等。
- 采用結(jié)點法，從只有兩個未知力的結(jié)點開始分析。例如，對于一個簡單桁架，可以從支座結(jié)點開始。根據(jù)該結(jié)點的水平和垂直方向的力平衡方程 $\sum F_{x}=0$ 和 $\sum F_{y}=0$ ，求解未知的桿件內(nèi)力。
- 逐步向其他結(jié)點推進，不斷求解新的未知內(nèi)力。
- 對于位移計算，可以利用結(jié)構(gòu)力學中的虛功原理或者剛度法。在計算剛度矩陣時，根據(jù)桿件的材料特性（如彈性模量 $E$ ）、截面尺寸等計算桿件的剛度系數(shù)。
- 若結(jié)點視為剛結(jié)點，在計算內(nèi)力時，要考慮結(jié)點處的彎矩平衡，對于位移計算也需要考慮剛結(jié)點的約束特性對結(jié)構(gòu)剛度的影響。
答案（假設(shè)情況）
- 缺乏圖示結(jié)構(gòu)的詳細信息，無法給出確切的內(nèi)力和位移數(shù)值。但遵循上述步驟，給定具體結(jié)構(gòu)信息后可求出結(jié)果。

三、例題3

題目描述
- 比較圖示兩結(jié)構(gòu)的最大位移。這里可能涉及到不同類型的桁架結(jié)構(gòu)（比如不同的桿件布置、約束條件或者荷載情況）。
計算步驟
- 對于每個結(jié)構(gòu)：
  - 確定結(jié)構(gòu)的計算模型，是按鉸結(jié)點還是剛結(jié)點處理。
  - 計算結(jié)構(gòu)的剛度矩陣。對于桁架結(jié)構(gòu)，剛度矩陣的元素與桿件的剛度（由材料彈性模量 $E$ 、截面尺寸等決定）有關(guān)。
  - 根據(jù)荷載情況，求出結(jié)構(gòu)的位移?？梢酝ㄟ^建立荷載向量，利用剛度方程 $\boldsymbol{F}=\boldsymbol{K}\boldsymbol{\delta}$ （其中 $\boldsymbol{F}$ 是荷載向量， $\boldsymbol{K}$ 是剛度矩陣， $\boldsymbol{\delta}$ 是位移向量）求解位移向量。
  - 找出每個結(jié)構(gòu)的最大位移值。
- 最后比較兩個結(jié)構(gòu)的最大位移值。
答案（假設(shè)情況）
- 沒有圖示結(jié)構(gòu)的具體內(nèi)容，不能給出具體的最大位移數(shù)值。但按照步驟計算可得到結(jié)果。

四、平面桁架計算例題

題目描述
- 平面桁架結(jié)構(gòu)由連接于 $A、B、C、D、E、F、G、H$ 共 $8$ 個節(jié)點的 $13$ 根桿件構(gòu)成。在節(jié)點 $B、E$ 和 $F$ 上施加指定載荷，求桁架每根桿件上的軸力。假定節(jié)點 $A$ 在水平和垂直方向上剛性固定，而節(jié)點 $H$ 僅在垂直方向剛性固定。
計算步驟
- 由于有 $8$ 個節(jié)點，每個節(jié)點可列出兩個獨立的平衡方程（水平和垂直方向力平衡），總共可列出 $16$ 個方程，而未知的桿件內(nèi)力有 $13$ 個，方程數(shù)多于待定未知量。
- 從有已知荷載和較少未知力的節(jié)點開始分析，例如節(jié)點 $B$ 。根據(jù)節(jié)點 $B$ 處的水平和垂直方向力平衡方程 $\sum F_{x}=0$ 和 $\sum F_{y}=0$ 列出方程。
- 假設(shè)桿件內(nèi)力為拉力為正，壓力為負。將節(jié)點 $B$ 處的荷載和與該節(jié)點相連桿件的內(nèi)力代入平衡方程求解部分桿件內(nèi)力。
- 接著對節(jié)點 $E$ 、 $F$ 等按照同樣的方法進行分析，逐步求解出所有桿件的內(nèi)力。
答案（假設(shè)情況）
- 由于沒有給出指定載荷的大小和方向，無法給出具體的桿件內(nèi)力數(shù)值。但根據(jù)上述方法，在確定載荷情況后就能求出結(jié)果。